Prépare-toi à progresser en Mathématiques avec ces exercices niveau Terminale : "Limites de suites". Conçu pour renforcer les notions clés vues en cours, cet entraînement te permet de t’exercer à ton rythme. Idéal pour réviser efficacement et gagner en confiance. À toi de jouer !
On considère la suite $(u_n)$ donnée par son premier terme $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$ :
$$u_{n+1}=\dfrac{3u_n+5}{3+u_n}$$
Calculer $u_1$ puis $u_2$.
La suite $(u_n)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=f(u_n)$, où $f$ est la fonction définie sur $\mathbb R^+$ par :
$$f(x)=\dfrac{3x+5}{3+x}$$
$$C_n: 1 \leq u_n < u_{n+1} < 3$$
Soit $(v_n)$ la suite définie par :
$$\begin{cases} v_0=0 \\ v_{n+1}=\dfrac {v_n}3+\dfrac{2\sqrt 5}3 \end{cases}$$
On considère maintenant la suite $(w_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$w_n=v_n-\sqrt{5}$$
On a programmé en Python les deux fonctions $\purple{\text{seuil()}}$ et $\purple{\text{ approche()}}$ d’argument $\purple{\text{p}}$ ci-dessous :
|
Programme A $$\begin{aligned} &\small \text{def seuil():} \\ &\small \qquad \text{n = 0} \\ &\small \qquad \text{u = 1} \\ &\small \qquad\text{while abs(u - sqrt(\red{…})) > \red {…}:} \quad \\ &\small \qquad\qquad\text{u = (3 $\ast$ u + 5) / (3 + u) } \\ &\small \qquad\qquad\text{n = \red{…}} \\ &\small \qquad\text{return n} \end{aligned}$$ |
|
Programme B $$\begin{aligned} &\small \text{def approche(p):} \\ &\small \qquad \text{n = 0} \\ &\small \qquad \text{v = 0} \\ &\small \qquad\text{while abs(u - sqrt(5)) > 10$\ast\ast\,$p:} \quad \\ &\small \qquad\qquad\text{v = v / 3 + 2 $\ast$ sqrt(5) / 3 } \\ &\small \qquad\qquad\text{n = n + 1} \\ &\small \qquad\text{print (v)} \end{aligned}$$ |
